这跟我们直接从定义得到的结果是一样的。使用这个方法，你可以自己验证φ(100)=40。因此，可以推出740同余于1模100。当然，就像我们已经看到的，余1的7的最小幂次不是40，而是它的因数4。
以上这些都是为了表明，鲍勃确实可以求出发送给爱丽丝的数me模n，同时不需要鲍勃的计算机做出太多努力。不过，在实际操作中涉及的数依然大到可怕，因此我们有必要进一步说明如何处理它们。计算me所涉及的高次幂可以分阶段进行，这个过程叫作快速求幂（fast exponentiation）。简而言之，这一方法运用连续求平方以及幂的相乘来得出me模n。我们可以用二进制形式的e引导算法，从而在相对少的步数里快速找到想要的余数。
欧几里得教爱丽丝找到她的解密数
为了找到d，爱丽丝的电脑可以利用一个代数工具——欧几里得算法，这一工具已经有2300多岁了。稍后我们就来介绍它。如果伊芙的计算机知道去解哪个方程，那它当然也能做到同样的事情。然而，因为p和q是爱丽丝私有的，(p-1)(q-1)也是，因此伊芙并不知道从哪里着手。
